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네제곱의 합

수학시리즈)급수시리즈, 모든 자연수의 네제곱의 합

수학시리즈)급수시리즈, 모든 자연수의 네제곱의 합

 

 

저번 시간에 

수식1.jpg

 

를 이용해서 모든 자연수의 역수의 제곱의 합을 증명했다. 답은 6분의 파이제곱이다.

 

 

이번시간엔

 

모둔 자연수의 역수의 네제곱의 합을 증명해 보겠다.

 

이는 오일러가 증명을 했는데 그는 위 문제를 증명하는 겸사겸사 이를 증명해내었고

곧 '모든 짝수의 네제곱의 합'을 구하는 일반적인 방법을 알아냈고,

그는 모든 자연수의 26제곱의 역수의 합까지 손으로 계산했다.

 

증명을 해보자. 위식만 있으면 사실 그 다음부터는 매우 간단해진다.

 

 

수식4..jpg

 

저번엔 x^2의 계수를 비교해 1/n^2의 합을 유도했으니

이번엔 x^4의 계수를 비교해 1/n^4의 합을 유도해보자.

 

눈치빠른 독자면 눈치 챘을 테지만 사실 이런식으로 하면 x의 짝수승의 계수를 비교하면

모든 짝수의 역수의 제곱을 유도할 수 있다. 

 

어쨋든 위의 식을 어떻게 정리할까?

 

수식55.jpg

 

이렇게 정리할수있다.  요상하게 생긴 기호는 모두 더한다는 뜻이다

즉 1/j^2*k^2을 다 더한다는 뜻이다.

 

자 이쯤에서 중학교때 배운 곱셈공식을 기억해보자.

제목 없음.png

 

이다.

위식에서 2ab가 보이는가?

우리는 저걸 활용해서   1/j^2 * 1/k^2을 유도해 낼것이다.

 

수식88.jpg

 

 

 

 

이렇게 곱셈공식을 적절히 변형해서 위와같은 식을 유도하였다.

이를 처음 식에 적용하면

 

수식311.jpg

이 된다. 

근데 여기서 우리가 자연수의 제곱의 역수의 합은 이미 알고있다!

따라서

 

수식13.jpg

이 된다.

 

이를 적절히 정리하면

수식.jpg

 

이 된다.

 

이런 방법으로 자연수의 짝수제곱의 역수의 합은 전부 유도 할 수 있다.

 

1/n^6의 합은

 

제목 없2음.png

 

이다.

 

이것도 똑같은 방법으로 유도 할 수있으니 시간 많으면 한번 직접 증명해 보길 바란다.

 

 

할 일이 없었던 오일러는 1744년

제목 없22음.png

 

 

이렇게 26승까지 증명한다.

 

 

 

자 그럼 짝수꼴의 무한합에 대해서는 어떤수든 계산이 가능하다.

반대로 홀수 꼴에서는 어떨까?

가령

수식31.jpg

에 대해서 말이다.

오일러는 위식의 답을 알아내기 위해 부단히 노력했지만 

실패했다.

 

그럼 현재 알려져있을까?

그 답은

 

'아직까지 모른다' 이다

 

현대수학으로는 아직도 풀어내지 못했으니

수학에 관심있거나, 수학자가 될 개붕이가 있다면 한번 도전해 보길 바란다.

푸는 순간 일단 필즈상은 확정일 것이다.

 

그럼 위의 식은 수렴 할까?

답은 '그렇다'이다.

왜냐하면 1/n^3 은 1/n^2보다 무조건 작다.

그런데 1/n^2 은 수렴한다.

즉 1/n^3의 무한합은 6분의 파이제곱보다 작으니

일단 무한이 아니라 특정 값이 나오는건 맞다.

 

그럼 1/n^3의 무한합은 유리수일까 무리수일까?

 

다운로드.jpg

1978년 수학자 아페리가 무리수라는것을 처음으로 증명해내었다.

그렇기 때문에 이 수는 '아페리 상수'라는 이름이 붙었다.

그리고 그 뒤로 풀이는 지지부진하다.

 

7972.jpg

 

(여담으로 이를 증명하고 얼마나 기쁘셨는지

그걸 자기 무덤 묘비에다 써놓으셨다.)

 

 

하지만 현대에는 계산기가 나왔기 때문에 그냥 무작정 더해보는 방법으로 근사값을 알아낼 수 있었다.

대략 1.202056903159594285399738161511449990764986292... 라고 알려져 있다.

 

 

그러면 다른 홀수꼴의 무한합은 모두 무리수일까?

'그것도 여전히 모른다'

현재  5승,7승,9승,11승 중에 적어도 하나는 무리수라는게 증명되었다.

이 문제도 개붕이들이 한번 도전해 보길 바란다.

 

 

나머지는 다음시간에....

 

 

 

 

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